kaoyan3basic 线性代数 第403题
📝 题目
### 第403题 403 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，则 $m
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：验证$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$满足$A\boldsymbol{x}=0$，即$A\boldsymbol{\alpha}_1=0$，$A\boldsymbol{\alpha}_2=0$。 步骤2：选项B中矩阵的行向量与$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$正交，且秩为2，满足条件。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：理解齐次方程组有非零解的条件
齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知数的个数。对于方程组 A^T A x = 0，系数矩阵为 A^T A，未知数个数为 n。
公式：秩(A^T A) < n 时有非零解
提示：注意 A^T A 是 n×n 矩阵，其秩等于 A 的秩。
步骤 2/3
目标：分析 m < n 与秩的关系
由于 A 是 m×n 矩阵，秩(A) ≤ min(m, n)。当 m < n 时，秩(A) ≤ m < n，因此秩(A^T A) = 秩(A) < n，所以方程组有非零解。但反之，若方程组有非零解，则秩(A) < n，这并不要求 m < n，因为 m ≥ n 时也可能秩(A) < n（例如 A 行满秩但列不满秩）。
公式：秩(A^T A) = 秩(A)
提示：m < n 是充分条件，但不是必要条件。
步骤 3/3
目标：判断充分性和必要性
由以上分析，m < n 能推出方程组有非零解，但方程组有非零解不能推出 m < n，因此 m < n 是充分非必要条件。但注意题目问的是“m
提示：注意区分充分性和必要性。
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