kaoyan3basic 线性代数 第404题
📝 题目
### 第404题 404 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系还可以是 （A）与 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 等价的向量组． （B） $\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{1}$. （C）与 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 等秩的向量组． （D） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$m
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断选项A是否正确
基础解系必须线性无关且能表示所有解。等价向量组不一定线性无关，例如若α1,α2,α3线性无关，但与之等价的向量组可能包含更多向量而线性相关，故A错误。
提示：等价向量组仅保证相互线性表示，不保证线性无关。
步骤 2/4
目标：判断选项B是否正确
计算向量组(α1-α2, α2-α3, α3-α1)的线性相关性。由于(α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α1)=0，所以线性相关，不能作为基础解系。
提示：三个向量和为0，必线性相关。
步骤 3/4
目标：判断选项C是否正确
等秩的向量组不一定线性无关，例如秩为3但包含4个向量时线性相关，故C错误。
提示：基础解系要求向量个数等于解空间的维数（即秩），且线性无关。
步骤 4/4
目标：判断选项D是否正确
验证向量组α1, α1+α2, α1+α2+α3的线性无关性。设k1α1+k2(α1+α2)+k3(α1+α2+α3)=0，整理得(k1+k2+k3)α1+(k2+k3)α2+k3α3=0。由于α1,α2,α3线性无关，得方程组：k1+k2+k3=0, k2+k3=0, k3=0，解得k1=k2=k3=0，故线性无关。且该向量组由α1,α2,α3线性表示，个数为3，故是基础解系。
提示：利用线性无关的定义，通过系数矩阵满秩判断。
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