kaoyan3basic 线性代数 第405题
📝 题目
### 第405题 405 设 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right]$ 是四阶矩阵， $\boldsymbol{\eta}_{1}=(1,-2,3,1)^{\mathrm{T}}$ 和 $\boldsymbol{\eta}_{2}=(0,1,0,-2)^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则必有 （A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关． （B） $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关． （C） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关． （D） $\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关． □
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：选项A中向量组与基础解系等价，但可能线性相关（如含零向量），不一定是基础解系。 步骤2：选项B中向量组线性相关（和为0）。 步骤3：选项C中向量组秩可能小于3。 步骤4：选项D中向量组线性无关且个数为3，是基础解系。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定基础解系的性质
已知η1和η2是Ax=0的基础解系，所以解空间维数为2，因此矩阵A的秩为4-2=2。
公式：秩(A) = 4 - 基础解系向量个数 = 2
提示：基础解系中向量的个数等于解空间的维数。
步骤 2/4
目标：分析各选项向量组的线性相关性
由于A的列向量组α1,α2,α3,α4的秩为2，所以任意3个列向量线性相关，任意2个列向量可能线性相关也可能无关。选项A、C涉及3个向量，必然线性相关，排除。选项B：α2,α4线性相关？需要验证。选项D：α3,α4线性无关？需要验证。
公式：向量组线性相关当且仅当存在不全为零的系数使线性组合为零。
提示：注意基础解系中的向量与A的列向量之间的关系。
步骤 3/4
目标：利用基础解系与列向量的关系
由Aη1=0和Aη2=0，得：η1的系数：α1 -2α2 +3α3 +α4=0；η2的系数：α2 +0α3 -2α4=0，即α2=2α4。所以α2与α4线性相关，排除B。
公式：Aη=0表示η的分量为系数对列向量线性组合为零。
提示：将η的分量作为系数，对列向量进行线性组合。
步骤 4/4
目标：判断选项D
由α2=2α4，代入第一个方程得α1 -2(2α4)+3α3+α4=α1+3α3-3α4=0，即α1=3α4-3α3。所以α1,α3,α4线性相关，但α3,α4是否无关？假设α3,α4线性相关，则存在k使α3=kα4，代入α1=3α4-3kα4=3(1-k)α4，则所有列向量都可由α4线性表示，秩为1，与秩为2矛盾。故α3,α4线性无关。
公式：若α3,α4线性相关，则秩≤1，矛盾。
提示：利用反证法。
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