kaoyan3basic 线性代数 第406题
📝 题目
### 第406题 406 设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 4 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 1\end{array}\right]$ ，那么矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的三个特征值是 （A） $1,0,-2$ ． （B） $1,1,-3$ ． （C） $3,0,-2$ ． （D） $2,0,-3$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：由基础解系含2个向量，知$r(\boldsymbol{A})=2$，故$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$的极大无关组含2个向量。 步骤2：由$\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2$的分量关系，可知$\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_4$线性无关。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出特征多项式
计算矩阵A的特征多项式|λE - A| = 0，其中E是3阶单位矩阵。
公式：|λE - A| = det([[λ-1, -2, 2], [-4, λ+3, -3], [-2, 1, λ-1]])
提示：注意符号，λE-A中A的元素取负号。
步骤 2/4
目标：计算行列式
将行列式按第一行展开或利用行变换化简。例如，将第二行乘以1加到第三行，然后计算。
公式：|λE - A| = (λ-1)[(λ+3)(λ-1) - (-3)(1)] - (-2)[(-4)(λ-1) - (-3)(-2)] + 2[(-4)(1) - (λ+3)(-2)]
提示：展开时注意符号，避免计算错误。
步骤 3/4
目标：化简多项式
计算各项并合并同类项，得到特征多项式为λ^3 + λ^2 - 5λ + 3 = 0。
公式：λ^3 + λ^2 - 5λ + 3 = 0
提示：可以尝试因式分解，例如代入λ=1检验。
步骤 4/4
目标：因式分解求根
将多项式因式分解为(λ-1)^2(λ+3)=0，得到特征值λ=1（二重根）和λ=-3。
公式：(λ-1)^2(λ+3)=0
提示：注意二重根，特征值顺序无关。
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