kaoyan3basic 线性代数 第407题
📝 题目
### 第407题 407 已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，那么与 $\boldsymbol{A}$ 有相同特征值的矩阵是 （A） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ ． （B） $\boldsymbol{A}^{2}$ ． （C） $\boldsymbol{A}^{-1}$ ． （D） $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ ． 408 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，$r(\boldsymbol{A})=1$ ，则 $\lambda=0$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：计算特征多项式$|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1 & -2 & 2 \\ -4 & \lambda+3 & -3 \\ -2 & 1 & \lambda-1\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda+2)(\lambda-3)$。 步骤2：特征值为$1,-2,3$，对应选项D。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：理解特征值的定义和性质
特征值λ满足|λE - A| = 0，且特征多项式相同则特征值相同。
公式：|λE - A| = 0
提示：注意矩阵转置、逆、幂等变换对特征值的影响。
步骤 2/3
目标：分析各选项特征值的关系
对于可逆矩阵A，其特征值λ不为0。A^T的特征值与A相同（因为|λE - A^T| = |(λE - A)^T| = |λE - A|）。A^2的特征值为λ^2，A^{-1}的特征值为1/λ，A-E的特征值为λ-1。只有A^T保持特征值不变。
公式：|λE - A^T| = |λE - A|
提示：转置不改变行列式，因此特征多项式相同。
步骤 3/3
目标：选择正确选项
根据分析，与A有相同特征值的矩阵是A^T，即选项（A）。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。