kaoyan3basic 线性代数 第342题
📝 题目
### 第342题 342 已知行列式 $D=\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & 4\end{array}\right|$ ，则第一行元素的代数余子式之和为 （A） 96 ． （B） 48 ． （C） 24 ． （D） 0 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：第一行元素为$(1,1,0,0)$，代数余子式之和为$A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}$。步骤2：$A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=\begin{vmatrix}2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 4\end{vmatrix}=2\cdot3\cdot4=24$，$A_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-\begin{vmatrix}0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 4\end{vmatrix}=-(0\cdot(3\cdot4-3\cdot0)-2\cdot(0\cdot4-3\cdot4)+0)= -(-24)=24$，$A_{13}=0$，$A_{14}=0$，和为$24+24=48$。重新计算：$A_{12}=-\begin{vmatrix}0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 4\end{vmatrix}= -[0\cdot(3\cdot4-3\cdot0) - 2\cdot(0\cdot4-3\cdot4) + 0] = -[0 -2\cdot(-12)] = -24$，故和为$24-24=0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出第一行元素及其代数余子式之和的表达式
第一行元素为 (1,1,0,0)，代数余子式之和为 A11 + A12 + A13 + A14。
提示：注意代数余子式带符号 (-1)^(i+j)。
步骤 2/5
目标：计算 A11
A11 = (-1)^(1+1) M11 = |2 2 0; 0 3 3; 0 0 4| = 2×3×4 = 24。
公式：上三角行列式等于对角线乘积
提示：M11 是去掉第1行第1列后的子式。
步骤 3/5
目标：计算 A12
A12 = (-1)^(1+2) M12 = -|0 2 0; 0 3 3; 4 0 4|。按第一行展开：- [0*(3*4-3*0) - 2*(0*4-3*4) + 0] = - [0 - 2*(-12)] = -24。
公式：三阶行列式展开
提示：注意符号和计算准确性。
步骤 4/5
目标：计算 A13 和 A14
A13 = 0，A14 = 0，因为对应元素为0，且代数余子式本身不为0但乘以0后为0。
提示：元素为0时，乘积为0。
步骤 5/5
目标：求和
A11 + A12 + A13 + A14 = 24 + (-24) + 0 + 0 = 0。
提示：注意 A12 为负值。
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