kaoyan3basic 线性代数 第343题
📝 题目
### 第343题 343 下列行列式中，行列式的值不等于 24 的是 （A）$\left|\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 3 & 0 \\ 4 & 4 & 4 & 4\end{array}\right|$ ． （B）$\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|$ ． （C）$\left|\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right|$ ． （D）$\left|\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0\end{array}\right|$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：A为下三角行列式，值为$1\cdot2\cdot3\cdot4=24$。步骤2：B为$\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 0\end{vmatrix}$，按最后一行展开得$4\cdot(-1)^{4+1}\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 0\end{vmatrix} = -4\cdot(1\cdot(2\cdot0-2\cdot3) -1\cdot(2\cdot0-2\cdot3) +1\cdot(2\cdot3-2\cdot3)) = -4\cdot(-6+6+0)=0$，不等于24。步骤3：C为$\begin{vmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4\end{vmatrix}$，按第4行展开得$4\cdot(-1)^{4+4}\begin{vmatrix}0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 0\end{vmatrix}=4\cdot(0\cdot(0\cdot0-2\cdot0)-1\cdot(2\cdot0-2\cdot3)+0)=4\cdot(6)=24$。步骤4：D为$\begin{vmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0\end{vmatrix}$，按第1行展开得$1\cdot(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}0 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0\end{vmatrix} = -[0\cdot(0\cdot0-0\cdot4)-0\cdot(3\cdot0-0\cdot0)+2\cdot(3\cdot4-0\cdot0)] = -24$。 **难度**：★★☆☆☆