kaoyan3basic 线性代数 第420题
📝 题目
### 第420题 420 下列二次型经正交变换标准形不是 $y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ 的是 （A） $3 x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{3}$ ． （B）$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}$ ． （C） $2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}$ ． （D）$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{2} x_{3}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：选项D二次型矩阵特征值为$3,-1,-1$，标准形为$3y_1^2-y_2^2-y_3^2$，与$y_1^2+3y_2^2-y_3^2$不同。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意：找出经正交变换后标准形不是 y1^2+3y2^2-y3^2 的二次型。
题目要求判断哪个二次型的标准形不是 y1^2+3y2^2-y3^2，即特征值不是 1, 3, -1。
提示：注意标准形中平方项的系数就是特征值。
步骤 2/5
目标：写出各选项二次型对应的矩阵。
对于二次型 f = x^T A x，A 是对称矩阵。
(A) 3x2^2+2x1x3：矩阵为 [[0,0,1],[0,3,0],[1,0,0]]。
(B) x1^2+x2^2+x3^2+4x1x2：矩阵为 [[1,2,0],[2,1,0],[0,0,1]]。
(C) 2x1^2+2x2^2-x3^2+2x1x2：矩阵为 [[2,1,0],[1,2,0],[0,0,-1]]。
(D) x1^2+x2^2+x3^2-4x1x2-4x2x3：矩阵为 [[1,-2,0],[-2,1,-2],[0,-2,1]]。
公式：二次型矩阵元素：a_ii 为 xi^2 系数，a_ij (i
提示：注意交叉项系数要除以2。
步骤 3/5
目标：计算各选项矩阵的特征值。
计算每个矩阵的特征值：
(A) 特征多项式为 det(λI-A)=0，解得特征值 1, 3, -1。
(B) 特征多项式为 (λ-1)((λ-1)^2-4)=0，解得特征值 3, -1, 1。
(C) 特征多项式为 (λ+1)((λ-2)^2-1)=0，解得特征值 3, 1, -1。
(D) 特征多项式为 (λ-3)(λ+1)^2=0，解得特征值 3, -1, -1。
公式：特征值满足 det(λI-A)=0。
提示：对于三阶矩阵，可先观察是否有明显特征值，如 (D) 中行和相等。
步骤 4/5
目标：比较特征值是否与标准形 y1^2+3y2^2-y3^2 的特征值 1,3,-1 一致。
标准形 y1^2+3y2^2-y3^2 的特征值为 1, 3, -1。
(A) 特征值 1,3,-1，一致。
(B) 特征值 3,-1,1，一致。
(C) 特征值 3,1,-1，一致。
(D) 特征值 3,-1,-1，不一致。
提示：特征值的顺序不影响标准形，只要集合相同即可。
步骤 5/5
目标：得出结论。
选项 D 的特征值为 3, -1, -1，标准形为 3y1^2 - y2^2 - y3^2，与题目所给不同，因此答案为 D。
提示：注意特征值重数。
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