kaoyan3basic 线性代数 第289题
📝 题目
### 第289题 289 设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}=\left[\begin{array}{cccc}4 & -2 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \left[\begin{array}{cccc} -1 & -2 & 0 & 0 \\ -3 & -4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$ **解析**：步骤1：由$\boldsymbol{A}^{*}$求$\boldsymbol{A}$，利用公式$\displaystyle \boldsymbol{A}^{-1}=\frac{\boldsymbol{A}^{*}}{|\boldsymbol{A}|}$，得$\boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}|(\boldsymbol{A}^{*})^{-1}$。 步骤2：先求$|\boldsymbol{A}^{*}|$，$\boldsymbol{A}^{*}$为分块对角矩阵，$|\boldsymbol{A}^{*}|=\left|\begin{array}{cc}4 & -2 \\ -3 & 1\end{array}\right|\cdot(-4)\cdot(-1)=(4\cdot1-(-2)(-3))\cdot4= (4-6)\cdot4=-8$。 步骤3：由$|\boldsymbol{A}^{*}|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}$，$n=4$，得$|\boldsymbol{A}|^{3}=-8$，故$|\boldsymbol{A}|=-2$。 步骤4：求$(\boldsymbol{A}^{*})^{-1}$，分块求逆：第一块$\displaystyle \left[\begin{array}{cc}4 & -2 \\ -3 & 1\end{array}\right]^{-1}=\frac{1}{4-6}\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & -1 \\ -\frac{3}{2} & -2\end{array}\right]$；第二块$\displaystyle (-4)^{-1}=-\frac{1}{4}$；第三块$(-1)^{-1}=-1$。故$\displaystyle (\boldsymbol{A}^{*})^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}-\frac{1}{2} & -1 & 0 & 0 \\ -\frac{3}{2} & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right]$。 步骤5：$\displaystyle \boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}|(\boldsymbol{A}^{*})^{-1}=(-2)\cdot\left[\begin{array}{cccc}-\frac{1}{2} & -1 & 0 & 0 \\ -\frac{3}{2} & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right]$。检查：原答案可能符号有误，重新计算：$|\boldsymbol{A}^{*}|$中第二块为-4，第三块为-1，乘积为$(-2)\cdot(-4)\cdot(-1)=-8$，正确。$|\boldsymbol{A}|=-2$，则$\boldsymbol{A}=(-2)(\boldsymbol{A}^{*})^{-1}$，得$\displaystyle \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right]$。但常见答案可能写为$\displaystyle \left[\begin{array}{cccc} -1 & -2 & 0 & 0 \\ -3 & -4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$？再验：若$\boldsymbol{A}^{*}$已知，则$\boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}|(\boldsymbol{A}^{*})^{-1}$，且$|\boldsymbol{A}|^{n-1}=|\boldsymbol{A}^{*}|$，得$|\boldsymbol{A}|=-2$，故$\boldsymbol{A}=-2(\boldsymbol{A}^{*})^{-1}$。而$(\boldsymbol{A}^{*})^{-1}$如上，乘-2得$\displaystyle \left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right]$。但题目中$\boldsymbol{A}^{*}$第三块为-4，第四块为-1，故$\boldsymbol{A}$第三行第三列应为$\displaystyle \frac{1}{2}$，第四行第四列为2。然而，常见答案可能因计算$|\boldsymbol{A}|$符号不同，若$|\boldsymbol{A}^{*}|=8$则$|\boldsymbol{A}|=2$，但这里$|\boldsymbol{A}^{*}|=-8$，故$|\boldsymbol{A}|=-2$。最终答案如上。 **难度**：★★★☆☆