kaoyan3basic 线性代数 第288题
📝 题目
### 第288题 288 设 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{P}$ ，其中 $\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll}0 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 5\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}^{100}=$ $\_\_\_\_$ ． □
💡 答案解析
**答案**：$\boldsymbol{A}^{100}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{B}^{100}\boldsymbol{P}$ **解析**：步骤1：由$\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{P}$得$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{B}\boldsymbol{P}$。 步骤2：则$\boldsymbol{A}^{100}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{B}^{100}\boldsymbol{P}$。 步骤3：$\boldsymbol{B}$为对角矩阵，$\boldsymbol{B}^{100}=\left[\begin{array}{ccc}1^{100} & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^{100} & 0 \\ 0 & 0 & (-1)^{100}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]=\boldsymbol{I}$。 步骤4：故$\boldsymbol{A}^{100}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{I}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{I}$。 **难度**：★★☆☆☆