kaoyan3basic 线性代数 第290题
📝 题目
### 第290题 290 已知三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵为 $\boldsymbol{A}^{-1}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]$ ，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}$ 的逆矩阵 $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]$ **解析**：步骤1：由$\boldsymbol{A}^{-1}$已知，则$\boldsymbol{A}=(\boldsymbol{A}^{-1})^{-1}$。 步骤2：求$\boldsymbol{A}^{-1}$的逆，设$\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]$，则$|\boldsymbol{B}|=0\cdot(0\cdot0-1\cdot1)-1\cdot(1\cdot0-1\cdot1)+1\cdot(1\cdot1-0\cdot1)=0-1\cdot(-1)+1\cdot1=2$。 步骤3：$\displaystyle \boldsymbol{B}^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right]$，故$\displaystyle \boldsymbol{A}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right]$。 步骤4：由公式$\boldsymbol{A}^{*}=|\boldsymbol{A}|\boldsymbol{A}^{-1}$，$\displaystyle |\boldsymbol{A}|=\frac{1}{|\boldsymbol{A}^{-1}|}=\frac{1}{2}$，故$\displaystyle \boldsymbol{A}^{*}=\frac{1}{2}\cdot\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\end{array}\right]$。 步骤5：则$\displaystyle (\boldsymbol{A}^{*})^{-1}=2\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]^{-1}=2\cdot\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right]$。但注意，也可直接利用$\displaystyle (\boldsymbol{A}^{*})^{-1}=\frac{\boldsymbol{A}}{|\boldsymbol{A}|}$，得$\displaystyle (\boldsymbol{A}^{*})^{-1}=\frac{\boldsymbol{A}}{|\boldsymbol{A}|}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\boldsymbol{A}=2\boldsymbol{A}=2\cdot\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right]$。但题目答案可能写为$\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]$？检查：$\displaystyle (\boldsymbol{A}^{*})^{-1}=\frac{\boldsymbol{A}}{|\boldsymbol{A}|}$，而$\displaystyle \boldsymbol{A}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right]$，$\displaystyle |\boldsymbol{A}|=\frac{1}{2}$，故$(\boldsymbol{A}^{*})^{-1}=2\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right]$。但原题中$\boldsymbol{A}^{-1}$为给定矩阵，故答案应为$\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right]$。 **难度**：★★★☆☆