kaoyan3basic 线性代数 第291题

教材习题

📝 题目

### 第291题 291 已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$ ，则 $(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B A})\left[\boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)^{-1} \boldsymbol{A}\right]=$ $\_\_\_\_$。

💡 答案解析

**答案**：$\boldsymbol{E}$ **解析**：步骤1：由$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$，知$\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$（若$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$为方阵，则逆矩阵唯一，故$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{-1}$，从而$\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$）。 步骤2：化简表达式，令原式$=(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{A})\left[\boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}})^{-1}\boldsymbol{A}\right]$。 步骤3：注意$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}=(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{E}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{E}$，故$\displaystyle (\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}})^{-1}=(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{E})^{-1}=\frac{1}{2}\boldsymbol{E}$。 步骤4：则原式$\displaystyle =(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{A})\left[\boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}\cdot\frac{1}{2}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{A}\right]=(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{E})\left[\boldsymbol{E}-\frac{1}{2}\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\right]=2\boldsymbol{E}\left[\boldsymbol{E}-\frac{1}{2}\boldsymbol{E}\right]=2\boldsymbol{E}\cdot\frac{1}{2}\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：由AB=E推出BA=E
由于A和B均为n阶方阵，且AB=E，则A和B互逆，因此BA=E。
公式：AB=E ⇒ BA=E
提示：方阵的逆矩阵唯一，若AB=E，则B=A^{-1}，从而BA=E。
步骤 2/3
目标：化简表达式中的转置部分
注意到A^T B^T = (BA)^T = E^T = E，因此(E + A^T B^T) = 2E，其逆为(1/2)E。
公式：A^T B^T = (BA)^T = E
提示：转置运算性质：(AB)^T = B^T A^T，但这里BA=E，所以转置后仍为E。
步骤 3/3
目标：代入并计算原式
原式 = (E + BA)[E - B * (1/2)E * A] = (E + E)[E - (1/2)BA] = 2E[E - (1/2)E] = 2E * (1/2)E = E。
公式：(E+BA)[E - B(E+A^T B^T)^{-1}A] = E
提示：注意矩阵乘法满足结合律，且E为单位矩阵。

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