kaoyan3basic 线性代数 第354题
📝 题目
### 第354题 $354 \boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，下列命题中正确的是 （A）如果 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{E}$ ，则必有 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$ 或 $\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{E}$ ． （B）如果 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{O}$ ，则必有 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ ． （C）如果 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}$ 且 $\boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$ ． （D）如果 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：A：$A^2=E$，$A$不一定为$\pm E$，如$A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$。步骤2：B：$A^2=O$，$A$不一定为$O$，如$A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$。步骤3：C：$A^2=A$且$A\neq O$，$A$不一定为$E$，如$A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$。步骤4：D：$A^TA=O$，则$A$的每个列向量模长为0，故$A=O$，正确。 **难度**：★☆☆☆☆