kaoyan3basic 线性代数 第355题
📝 题目
### 第355题 $355 \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵，下列命题中正确的是 （A） $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O} \Leftrightarrow \boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O}$ 且 $\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}$ ． （B）如 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则必有 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ． （C）如 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则 $|\boldsymbol{A}|=0$ 或 $|\boldsymbol{B}|=0$ ． （D）如 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B}$ ，则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：A：$AB\neq O$不能推出$A\neq O$且$B\neq O$，如$A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$，$AB=O$但$A,B$均非零。步骤2：B：$AB=O$不能推出$A=O$或$B=O$，同上例。步骤3：C：$AB=O$，取行列式得$|A||B|=0$，故$|A|=0$或$|B|=0$，正确。步骤4：D：$AB=B$，即$(A-E)B=O$，不能推出$A=E$，如$B=O$时$A$任意。 **难度**：★☆☆☆☆