kaoyan3basic 线性代数 第353题
📝 题目
### 第353题 353 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵，正确的法则是 （A）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})=\boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{B}^{2}$ ． （B）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}$ ． （C）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{2}=\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{2}$ ． （D）$(\boldsymbol{A B})^{*}=\boldsymbol{B}^{*} \boldsymbol{A}^{*}$ ． □
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：A：$(A+B)(A-B)=A^2-AB+BA-B^2$，一般$AB\neq BA$，故不成立。步骤2：B：$(A+B)^{-1}$一般不等于$A^{-1}+B^{-1}$。步骤3：C：$(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$，一般$AB\neq BA$。步骤4：D：$(AB)^*=B^*A^*$是伴随矩阵的性质，正确。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断选项A是否正确
计算 (A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2，由于矩阵乘法不满足交换律，一般 AB ≠ BA，因此不能化简为 A^2 - B^2，故A错误。
公式：(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2
提示：注意矩阵乘法不满足交换律，展开时不能直接合并AB和BA项。
步骤 2/4
目标：判断选项B是否正确
考虑 (A+B) 的逆矩阵，一般不等于 A^{-1} + B^{-1}。例如取 A = I, B = I，则 (A+B)^{-1} = (2I)^{-1} = (1/2)I，而 A^{-1}+B^{-1}=2I，不相等。故B错误。
公式：(A+B)^{-1} ≠ A^{-1} + B^{-1}
提示：逆矩阵的运算没有分配律，可通过反例验证。
步骤 3/4
目标：判断选项C是否正确
计算 (A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2，由于 AB ≠ BA，不能合并为 2AB，故C错误。
公式：(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2
提示：矩阵平方展开时，交叉项不能合并，除非A与B可交换。
步骤 4/4
目标：判断选项D是否正确
根据伴随矩阵的性质，对于可逆矩阵A和B，有 (AB)^* = B^* A^*，该性质成立，故D正确。
公式：(AB)^* = B^* A^*
提示：伴随矩阵的乘法顺序与矩阵乘法相反，类似于转置。
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