kaoyan3basic 线性代数 第351题

教材习题

📝 题目

### 第351题 351 已知 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是 $n$ 维列向量，正确的结论是 （A） $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$. （B） $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}$. （C） $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}$ ． （D） $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ ． 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵， $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵， $\boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵， $\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位矩阵， $\boldsymbol{\Lambda}_{1}$ ， $\boldsymbol{\Lambda}_{2}$ 都是 $n$ 阶对角矩阵，在下列运算中： $\boldsymbol{A A ^ { * }}=\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{\Lambda}_{1} \boldsymbol{\Lambda}_{2}=\boldsymbol{\Lambda}_{2} \boldsymbol{\Lambda}_{1}$, $\boldsymbol{A}^{m} \boldsymbol{A}^{t}=\boldsymbol{A}^{t} \boldsymbol{A}^{m}$, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\Lambda}_{1}=\boldsymbol{\Lambda}_{1} \boldsymbol{A}$, $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})$ 交换律肯定成立的共有

💡 答案解析

**答案**：C **解析**：步骤1：$\alpha\beta^T$是矩阵，$\beta\alpha^T$是矩阵，一般不等，除非$\alpha,\beta$特殊。步骤2：$\alpha^T\beta$是数，$\beta^T\alpha$也是数，且相等，故成立。步骤3：$\alpha\beta^T$是矩阵，$\alpha^T\beta$是数，不等。步骤4：$\alpha^T\beta\alpha^T$是行向量，$\beta^T\alpha\beta^T$是行向量，一般不相等。故只有第2个成立。但题目有6个运算：$AA^*=A^*A$成立，$\Lambda_1\Lambda_2=\Lambda_2\Lambda_1$成立，$A^mA^t=A^tA^m$成立，$AA^T=A^TA$不一定成立，$A\Lambda_1=\Lambda_1A$不一定成立，$(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)$成立。共4个成立。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：判断选项（A）是否正确
αβ^T 是 n×n 矩阵，βα^T 也是 n×n 矩阵，一般情况下两者不相等，例如取 α=(1,0)^T, β=(0,1)^T，则 αβ^T ≠ βα^T。因此（A）错误。
提示：注意矩阵乘法不满足交换律。
步骤 2/5
目标：判断选项（B）是否正确
α^Tβ 和 β^Tα 都是标量（1×1 矩阵），且互为转置，标量的转置等于自身，所以 α^Tβ = β^Tα。因此（B）正确。
公式：α^Tβ = (α^Tβ)^T = β^Tα
提示：标量的转置等于自身。
步骤 3/5
目标：判断选项（C）是否正确
αβ^T 是 n×n 矩阵，α^Tβ 是标量，两者维度不同，不可能相等。因此（C）错误。
提示：注意矩阵与标量的区别。
步骤 4/5
目标：判断选项（D）是否正确
α^Tβ 是标量，记 k=α^Tβ，则 α^Tβ α^T = k α^T 是行向量；β^Tα 也是标量，且等于 k，则 β^Tα β^T = k β^T 是行向量。一般 k α^T ≠ k β^T，除非 α=β。因此（D）错误。
提示：注意向量与标量的乘法。
步骤 5/5
目标：判断题目中六个运算交换律是否成立
① AA* = A*A 成立（伴随矩阵性质）。② Λ1Λ2 = Λ2Λ1 成立（对角矩阵乘法可交换）。③ A^m A^t = A^t A^m 成立（同矩阵幂可交换）。④ AA^T = A^TA 不一定成立（例如非对称矩阵）。⑤ AΛ1 = Λ1A 不一定成立（除非A是对角矩阵或Λ1是数量矩阵）。⑥ (A+E)(A-E) = (A-E)(A+E) 成立（因为 (A+E)(A-E)=A^2-E， (A-E)(A+E)=A^2-E）。所以共有4个成立。
提示：注意矩阵交换律成立的条件。

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