kaoyan3basic 线性代数 第375题
📝 题目
### 第375题 375 现有四个向量组 （1）$(1,2,3)^{\mathrm{T}},(3,-1,5)^{\mathrm{T}},(0,4,-2)^{\mathrm{T}},(1,3,0)^{\mathrm{T}}$ （2）$(a, 1, b, 0,0)^{\mathrm{T}},(c, 0, d, 2,0)^{\mathrm{T}},(e, 0, f, 0,3)^{\mathrm{T}}$ （3）$(a, 1,2,3)^{\mathrm{T}},(b, 1,2,3)^{\mathrm{T}},(c, 3,4,5)^{\mathrm{T}},(d, 0,0,0)^{\mathrm{T}}$ （4）$(1,0,3,1)^{\mathrm{T}},(-1,3,0,-2)^{\mathrm{T}},(2,1,7,2)^{\mathrm{T}},(4,2,14,5)^{\mathrm{T}}$ 则下列结论正确的是 （A）线性相关的向量组为（1）（4）；线性无关的向量组为（2）（3）． （B）线性相关的向量组为（3）（4）；线性无关的向量组为（1）（2）． （C）线性相关的向量组为（1）（2）；线性无关的向量组为（3）（4）． （D）线性相关的向量组为（1）（3）（4）；线性无关的向量组为（2）．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：向量组(1)有4个三维向量，必线性相关。 步骤2：向量组(2)中三个向量后三个分量构成矩阵$\begin{pmatrix}0&0&0\\2&0&0\\0&3&0\end{pmatrix}$，秩为2，但整体向量组线性无关（因前两个分量可调整）。 步骤3：向量组(3)中前两个向量成比例（第一分量不同但后三分量相同），故线性相关。 步骤4：向量组(4)中四个四维向量，计算行列式$\begin{vmatrix}1&-1&2&4\\0&3&1&2\\3&0&7&14\\1&-2&2&5\end{vmatrix}=0$，线性相关。 **难度**：★★★☆☆