kaoyan3basic 线性代数 第374题
📝 题目
### 第374题 374 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $5 \times 4$ 矩阵，且 $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性无关， $\boldsymbol{B}$ 是 4 阶矩阵，满足 $2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A} . \boldsymbol{B}^{*}$ 是 $\boldsymbol{B}$的伴随矩阵。则 $r\left(\boldsymbol{B}^{*}\right)=$ （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：由$2AB=A$得$A(2B-E)=O$。因$A$列满秩，故$2B-E=O$，即$\displaystyle B=\frac{1}{2}E$。 步骤2：$B$为可逆对角矩阵，$r(B)=4$，则$B^*$可逆，$r(B^*)=4$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：由已知等式推导出B的具体形式
由2AB=A，移项得2AB - A = O，即A(2B - E) = O。由于A是5×4矩阵且列向量线性无关，即A列满秩，所以齐次线性方程组Ax=0只有零解。因此2B - E = O，即B = (1/2)E。
公式：A(2B - E) = O，列满秩⇒ 2B - E = O
提示：注意矩阵乘法不满足交换律，但这里提取公因子时需注意方向。
步骤 2/2
目标：计算B的秩并判断B*的秩
B = (1/2)E是4阶对角矩阵，且对角元非零，故B可逆，r(B)=4。对于可逆矩阵，其伴随矩阵B*也可逆，因此r(B*)=4。
公式：若A可逆，则A*也可逆，且r(A*)=n
提示：伴随矩阵的秩公式：若r(A)=n，则r(A*)=n；若r(A)=n-1，则r(A*)=1；若r(A)
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