kaoyan3basic 线性代数 第284题

教材习题

📝 题目

### 第284题 284 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right], \boldsymbol{\Lambda}=\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 2 & \\ & & -1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\Lambda}-\boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

**答案**：$\begin{bmatrix}0&2&6\\-4&0&6\\-8&-2&0\end{bmatrix}$ **解析**： 步骤1：$A\Lambda=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&4&-3\\4&10&-6\\7&16&-9\end{bmatrix}$。 步骤2：$\Lambda A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&3\\8&10&12\\-7&-8&-9\end{bmatrix}$。 步骤3：$A\Lambda-\Lambda A=\begin{bmatrix}0&2&-6\\-4&0&-18\\14&24&0\end{bmatrix}$？重新计算：$A\Lambda-\Lambda A=\begin{bmatrix}1-1&4-2&-3-3\\4-8&10-10&-6-12\\7+7&16+8&-9+9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&2&-6\\-4&0&-18\\14&24&0\end{bmatrix}$。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：计算 AΛ
将矩阵 A 与对角矩阵 Λ 相乘，Λ 的对角元依次为 1, 2, -1。AΛ 的第 i 行第 j 列等于 A 的第 i 行第 j 列乘以 Λ 的第 j 个对角元。
公式：AΛ = A * diag(1,2,-1)
提示：右乘对角矩阵相当于对 A 的列进行缩放：第1列乘1，第2列乘2，第3列乘-1。
步骤 2/3
目标：计算 ΛA
将对角矩阵 Λ 与矩阵 A 相乘，Λ 的第 i 行第 j 列等于 Λ 的第 i 个对角元乘以 A 的第 i 行第 j 列。
公式：ΛA = diag(1,2,-1) * A
提示：左乘对角矩阵相当于对 A 的行进行缩放：第1行乘1，第2行乘2，第3行乘-1。
步骤 3/3
目标：计算 AΛ - ΛA
将前两步得到的矩阵相减，对应元素相减。
公式：AΛ - ΛA = [[1-1, 4-2, -3-3], [4-8, 10-10, -6-12], [7-(-7), 16-8, -9-(-9)]]
提示：注意符号，特别是第三行第一列：7 - (-7) = 14，第三行第三列：-9 - (-9) = 0。

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