kaoyan3basic 线性代数 第285题
📝 题目
### 第285题 285 设 $\boldsymbol{\alpha}=(1,3,-2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=(2,0,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{3}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\begin{bmatrix}2&0&0\\6&0&0\\-4&0&0\end{bmatrix}$ **解析**： 步骤1：$\alpha\beta^T=\begin{bmatrix}1\\3\\-2\end{bmatrix}(2,0,0)=\begin{bmatrix}2&0&0\\6&0&0\\-4&0&0\end{bmatrix}$。 步骤2：$A^3=(\alpha\beta^T)^3=\alpha(\beta^T\alpha)^2\beta^T$，$\beta^T\alpha=2\cdot1+0\cdot3+0\cdot(-2)=2$。 步骤3：$A^3=2^2\alpha\beta^T=4\begin{bmatrix}2&0&0\\6&0&0\\-4&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8&0&0\\24&0&0\\-16&0&0\end{bmatrix}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算矩阵 A = αβ^T
将列向量 α 与行向量 β^T 相乘，得到 3×3 矩阵。
公式：A = αβ^T = [1;3;-2] * (2,0,0) = [[2,0,0],[6,0,0],[-4,0,0]]
提示：注意矩阵乘法的顺序：列乘行得到矩阵。
步骤 2/4
目标：利用结合律化简 A^3
A^3 = (αβ^T)^3 = α(β^Tα)^2β^T，因为 β^Tα 是标量。
公式：A^3 = α(β^Tα)^2β^T
提示：利用矩阵乘法的结合律，将中间乘积转化为标量。
步骤 3/4
目标：计算 β^Tα
计算行向量 β^T 与列向量 α 的点积。
公式：β^Tα = 2*1 + 0*3 + 0*(-2) = 2
提示：β^Tα 是一个数，即内积。
步骤 4/4
目标：计算 A^3
代入 β^Tα = 2，得 A^3 = 2^2 * αβ^T = 4A。
公式：A^3 = 4 * [[2,0,0],[6,0,0],[-4,0,0]] = [[8,0,0],[24,0,0],[-16,0,0]]
提示：注意标量乘矩阵。
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