kaoyan3basic 线性代数 第283题
📝 题目
### 第283题 283 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $|\boldsymbol{A}|=2,|\boldsymbol{B}|=-3$ ，则 $\left|-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}^{-1}\right|=$ $\_\_\_\_$ ． （i）
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{(-1)^n}{6}$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle |-A^T B^{-1}|=(-1)^n|A^T||B^{-1}|=(-1)^n|A|\cdot\frac{1}{|B|}=(-1)^n\cdot2\cdot\frac{1}{-3}=(-1)^n\cdot(-\frac{2}{3})$。 步骤2：化简得$\displaystyle (-1)^{n+1}\cdot\frac{2}{3}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算行列式 |-A^T B^{-1}|
利用行列式性质：|kA| = k^n |A|，|A^T| = |A|，|B^{-1}| = 1/|B|。
公式：|kA| = k^n |A|, |A^T| = |A|, |B^{-1}| = 1/|B|
提示：注意矩阵乘法与行列式的关系：|AB| = |A||B|，但此处是乘积形式，可直接应用性质。
步骤 2/3
目标：代入已知数值
已知 |A|=2，|B|=-3，则 |A^T|=2，|B^{-1}|=1/(-3)。所以 |-A^T B^{-1}| = (-1)^n * 2 * (1/(-3)) = (-1)^n * (-2/3)。
公式：|-A^T B^{-1}| = (-1)^n |A| / |B|
提示：注意负号提取时指数n为矩阵阶数。
步骤 3/3
目标：化简结果
(-1)^n * (-2/3) = (-1)^{n+1} * (2/3)。
公式：(-1)^n * (-1) = (-1)^{n+1}
提示：最终结果可写为 (-1)^{n+1} * 2/3 或 (-1)^n * (-2/3)。
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