kaoyan3basic 线性代数 第329题
📝 题目
### 第329题 329 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 & 2 & 3\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ 相似，则 $b=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a=2$ **解析**：实对称矩阵不同特征值的特征向量正交。$\alpha_1$与$\alpha_2$正交，即$(1,2,-2)\cdot(4,-1,a)=4-2-2a=0$，得$a=1$。设$\lambda=-2$的特征向量为$\alpha_3=(x_1,x_2,x_3)^T$，则与$\alpha_1,\alpha_2$正交，得$\begin{cases} x_1+2x_2-2x_3=0 \\ 4x_1-x_2+x_3=0 \end{cases}$，解得$x_1=0,x_2=x_3$，取$\alpha_3=(0,1,1)^T$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用相似矩阵有相同特征值，确定A的特征值
由于A与对角矩阵B相似，B的特征值为3,4,-1，所以A的特征值也是3,4,-1。
提示：相似矩阵有相同的特征值。
步骤 2/4
目标：根据A的结构求特征值
A是分块对角矩阵，特征值为3和子矩阵[[a,b],[2,3]]的特征值。子矩阵的特征值应为4和-1。
提示：分块对角矩阵的特征值等于各块特征值的并集。
步骤 3/4
目标：计算子矩阵的特征多项式
子矩阵M = [[a,b],[2,3]]的特征多项式为|λI - M| = (λ-a)(λ-3) - 2b = λ^2 - (a+3)λ + 3a - 2b。
公式：|λI - M| = λ^2 - (a+3)λ + 3a - 2b
步骤 4/4
目标：利用特征值4和-1确定参数
特征多项式应等于(λ-4)(λ+1)=λ^2 -3λ -4。比较系数得：-(a+3) = -3 => a=0；3a-2b = -4 => 0-2b=-4 => b=2。
提示：注意比较系数时符号。
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