kaoyan3basic 线性代数 第330题
📝 题目
### 第330题 330 已知 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right]$ ，则 $r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})+r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$288$ **解析**：$A$的特征值为$1,2,-1$，则$B=A^2+2A+3E$的特征值为$1^2+2\cdot1+3=6$，$2^2+2\cdot2+3=11$，$(-1)^2+2(-1)+3=2$，故$|B|=6\times11\times2=132$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定矩阵A的特征值
由于A相似于B，B的特征值为1, 1, -1（计算B的特征多项式|λE-B|=0得特征值1, 1, -1），所以A的特征值也是1, 1, -1。
公式：相似矩阵有相同特征值
提示：注意B是对称矩阵，特征值易求。
步骤 2/4
目标：计算A-E和A+E的特征值
A-E的特征值为：1-1=0, 1-1=0, -1-1=-2；A+E的特征值为：1+1=2, 1+1=2, -1+1=0。
公式：若λ是A的特征值，则f(λ)是f(A)的特征值
提示：注意特征值的对应关系。
步骤 3/4
目标：计算矩阵的秩
A-E的非零特征值个数为1（特征值-2），所以r(A-E)=1；A+E的非零特征值个数为2（特征值2,2），所以r(A+E)=2。
公式：矩阵的秩等于非零特征值的个数（对于可对角化矩阵）
提示：A可对角化，因为相似于对角矩阵。
步骤 4/4
目标：求和
r(A-E)+r(A+E)=1+2=3。
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