kaoyan3basic 线性代数 第378题
📝 题目
### 第378题 378 （2012，数一、二、三）设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ c_{1}\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ c_{2}\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ c_{3}\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{4}=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ c_{4}\end{array}\right]$ ，其中 $c_{1}, c_{2}$ ， $c_{3}, c_{4}$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是 （A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$. （B） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$. （C） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ ． （D） $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$.
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：观察$\alpha_3=(1,-1,c_3)^T$与$\alpha_4=(-1,1,c_4)^T$，前两个分量成比例$(1,-1)$与$(-1,1)$互为相反数。 步骤2：$\alpha_1=(0,0,c_1)^T$，则$\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4$中，$\alpha_3+\alpha_4=(0,0,c_3+c_4)^T$，与$\alpha_1$可能线性相关。实际上，存在不全为零的系数使$1\cdot\alpha_3+1\cdot\alpha_4+0\cdot\alpha_1=0$？不对，需具体分析：取$k_1=0,k_3=1,k_4=1$得$\alpha_3+\alpha_4=(0,0,c_3+c_4)$，若$c_3+c_4\neq0$则非零，但前两个分量已为零，故$\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4$线性相关（因$\alpha_3+\alpha_4$与$\alpha_1$成比例）。 **难度**：★★★☆☆