kaoyan3basic 线性代数 第377题

教材习题

📝 题目

### 第377题 377 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1, t)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1, t, 1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(t, 1,1)^{\mathrm{T}}$ 线性相关，而 $\boldsymbol{\beta}_{1}=(1,3$ ， $2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=(2,7, t+4)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{3}=(0, t+2,3)^{\mathrm{T}}$ 线性无关，则 （A）$t \neq-3$ ． （B）$t=1$ ． （C）$t=-2$ ． （D）$t=-3$ ．

💡 答案解析

**答案**：D **解析**： 步骤1：由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性相关，得$\begin{vmatrix}1&1&t\\1&t&1\\t&1&1\end{vmatrix}=-(t-1)^2(t+2)=0$，解得$t=1$或$t=-2$。 步骤2：当$t=1$时，$\beta_1=(1,3,2)^T,\beta_2=(2,7,5)^T,\beta_3=(0,3,3)^T$，计算行列式$\begin{vmatrix}1&2&0\\3&7&3\\2&5&3\end{vmatrix}=0$，线性相关，矛盾。 步骤3：当$t=-2$时，$\beta_1=(1,3,2)^T,\beta_2=(2,7,2)^T,\beta_3=(0,0,3)^T$，行列式$\begin{vmatrix}1&2&0\\3&7&0\\2&2&3\end{vmatrix}=3\neq0$，线性无关，符合。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：由α1,α2,α3线性相关，求t的可能取值
向量组线性相关等价于它们构成的行列式为零。计算行列式|α1,α2,α3| = |1 1 t; 1 t 1; t 1 1| = -(t-1)^2(t+2) = 0，解得t=1或t=-2。
公式：|1 1 t; 1 t 1; t 1 1| = -(t-1)^2(t+2)
提示：注意行列式的计算，可先进行行变换简化。
步骤 2/3
目标：检验t=1时β1,β2,β3是否线性无关
当t=1时，β1=(1,3,2)^T, β2=(2,7,5)^T, β3=(0,3,3)^T。计算行列式|β1,β2,β3| = |1 2 0; 3 7 3; 2 5 3| = 0，故线性相关，与题设矛盾，舍去t=1。
公式：|1 2 0; 3 7 3; 2 5 3| = 0
提示：计算行列式时注意第三列有公因子3，可先提取简化。
步骤 3/3
目标：检验t=-2时β1,β2,β3是否线性无关
当t=-2时，β1=(1,3,2)^T, β2=(2,7,2)^T, β3=(0,0,3)^T。计算行列式|β1,β2,β3| = |1 2 0; 3 7 0; 2 2 3| = 3 ≠ 0，故线性无关，符合条件。
公式：|1 2 0; 3 7 0; 2 2 3| = 3
提示：行列式按第三列展开可快速计算。

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