kaoyan3basic 线性代数 第379题
📝 题目
### 第379题 379 设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ ，则 $|\boldsymbol{A}|=0$ 的充分必要条件是 （A） $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性相关． （B） $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性无关． （C） $\boldsymbol{A}$ 中每一个列向量都可由其他列向量线性表示． （D） $\boldsymbol{A}$ 中一定有 2 个列向量坐标成比例．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$|A|=0$当且仅当$A$的列向量线性相关。 步骤2：其他选项：B是无关，C是充分非必要，D是充分非必要。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：理解行列式为零与向量组线性相关的关系
对于n阶矩阵A，行列式|A|=0当且仅当A的列向量线性相关。这是因为行列式为零意味着矩阵的秩小于n，即列向量组的秩小于n，从而列向量线性相关。
公式：|A|=0 ⇔ rank(A)
提示：注意行列式为零与行向量组线性相关也是等价的，但本题选项只涉及列向量。
步骤 2/2
目标：分析各选项的正确性
选项A：列向量线性相关，这正是|A|=0的充要条件，正确。选项B：列向量线性无关，此时|A|≠0，错误。选项C：每一个列向量都可由其他列向量线性表示，这能推出线性相关，但反之不一定成立（例如零向量不能由其他向量表示），所以是充分非必要，错误。选项D：一定有2个列向量坐标成比例，这是线性相关的特例，但线性相关不一定有比例关系，所以是充分非必要，错误。
提示：注意区分充分条件和必要条件，充要条件必须双向成立。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。