kaoyan3basic 线性代数 第380题
📝 题目
### 第380题 380 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关的充分必要条件是 （A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 均不是零向量． （B） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 中任意 $s-1$ 个向量都线性无关． （C）向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}, \boldsymbol{\alpha}_{s+1}$ 线性无关。 （D） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 中每一个向量都不能由其余 $s-1$ 个向量线性表出．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：线性无关的充要条件是每个向量不能由其余向量线性表出。 步骤2：A、B、C均为必要条件非充分。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解线性无关的定义
向量组线性无关当且仅当不存在一组不全为零的系数使得线性组合为零向量。等价地，每个向量都不能由其余向量线性表出。
提示：线性无关的充要条件是每个向量都不能被其余向量线性表示。
步骤 2/5
目标：分析选项A
A：所有向量非零是线性无关的必要条件，但不是充分条件。例如，两个非零共线向量线性相关。
提示：非零向量不一定线性无关。
步骤 3/5
目标：分析选项B
B：任意s-1个向量线性无关是线性无关的必要条件，但不是充分条件。例如，三个向量中任意两个线性无关，但三个可能线性相关（如平面内三个向量）。
提示：部分无关不能推出整体无关。
步骤 4/5
目标：分析选项C
C：添加一个向量后整体无关，则原向量组必然无关，但反之不成立。原向量组无关时，添加一个向量可能相关。
提示：无关组添加向量后可能相关。
步骤 5/5
目标：分析选项D
D：每个向量都不能由其余向量线性表出，这正是线性无关的充要条件。
提示：这是线性无关的等价定义之一。
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