kaoyan3basic 线性代数 第381题
📝 题目
### 第381题 381 设向量组（I）： $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(a_{11}, a_{12}, a_{13}\right), \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(a_{21}, a_{22}, a_{23}\right), \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(a_{31}, a_{32}, a_{33}\right)$ ；向量组（II）： $\boldsymbol{\beta}_{1}=\left(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14}\right), \boldsymbol{\beta}_{2}=\left(a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24}\right), \boldsymbol{\beta}_{3}=\left(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34}\right)$ ，则正确的命题是 （A）（I）相关 ⇒（II）相关。 （B）（I）无关 ⇒（II）无关． （C）（II）无关 ⇒（I）无关． （D）（II）相关 ⇒（I）无关．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：向量组(II)无关，则其部分组(I)必无关（整体无关则部分无关）。 步骤2：其他选项：A中(I)相关不能推出(II)相关（增加分量可能无关）；B中(I)无关不能保证(II)无关；D中(II)相关不能推出(I)无关。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：分析选项C的正确性
向量组(II)无关，则其部分组(I)必无关，因为整体无关则部分无关。
提示：注意向量组无关性的性质：整体无关则部分无关，部分相关则整体相关。
步骤 2/2
目标：分析其他选项的错误原因
选项A：若(I)相关，则存在不全为零的系数使线性组合为零，但增加分量后，该组合仍为零，但可能因分量增加而变得无关？实际上，若(I)相关，则存在不全为零的系数使得前三个分量线性组合为零，但增加第四个分量后，该组合的第四个分量可能不为零，因此(II)可能无关。故A错误。选项B：若(I)无关，则(II)可能相关，因为增加分量可能引入线性关系。选项D：若(II)相关，则(I)可能相关也可能无关，例如(II)中向量线性相关但去掉第四个分量后可能无关。
提示：注意向量组增加分量时，相关性可能改变：无关可能变相关，相关可能变无关。
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