kaoyan3basic 线性代数 第394题

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📝 题目

### 第394题 394 已知四维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关，且向量 $\boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{4}$ ， $\boldsymbol{\beta}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{4}=\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{5}=2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ ，则 $r\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{5}\right)=$ （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ． 395某五元齐次线性方程组经高斯消元，系数矩阵化为 $\left[\begin{array}{ccccc}1 & -2 & 2 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0\end{array}\right]$ ，选取自由变量不能是

💡 答案解析

**答案**：C **解析**： 步骤1：将$\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\beta}_4,\boldsymbol{\beta}_5$用$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$线性表示，构造矩阵并求秩。 步骤2：经计算，向量组秩为3。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：将β向量用α向量线性表示，构造矩阵
设α₁,α₂,α₃,α₄线性无关，β₁=α₁+α₃+α₄，β₂=α₂-α₄，β₃=α₃+α₄，β₄=α₂+α₃，β₅=2α₁+α₂+α₃。将β向量组表示为α向量组的线性组合，系数矩阵为5×4矩阵，转置后求秩。
公式：β = α * A，其中A为4×5矩阵，A的列向量为β在α下的坐标。
提示：注意α线性无关，β的秩等于A的秩。
步骤 2/3
目标：写出系数矩阵并化简求秩
写出系数矩阵（α为基，β的坐标按列排列）： A = [1, 0, 0, 2; 0, 1, 0, 1; 1, 0, 1, 1; 1, -1, 1, 0] 的转置？实际上，β₁=(1,0,1,1)^T，β₂=(0,1,0,-1)^T，β₃=(0,0,1,1)^T，β₄=(0,1,1,0)^T，β₅=(2,1,1,0)^T。将这些列向量组成4×5矩阵B，求B的秩。 B = [1 0 0 0 2; 0 1 0 1 1; 1 0 1 1 1; 1 -1 1 0 0]。 对B进行初等行变换： R3-R1: [1 0 0 0 2; 0 1 0 1 1; 0 0 1 1 -1; 1 -1 1 0 0] R4-R1: [1 0 0 0 2; 0 1 0 1 1; 0 0 1 1 -1; 0 -1 1 0 -2] R4+R2: [1 0 0 0 2; 0 1 0 1 1; 0 0 1 1 -1; 0 0 1 1 -1] R4-R3: [1 0 0 0 2; 0 1 0 1 1; 0 0 1 1 -1; 0 0 0 0 0] 秩为3。
公式：行阶梯形矩阵非零行数即为秩。
提示：注意行变换不改变列秩。
步骤 3/3
目标：得出向量组秩
由行阶梯形矩阵知，B的秩为3，故β₁,β₂,β₃,β₄,β₅的秩为3。
公式：r(β₁,β₂,β₃,β₄,β₅)=3
提示：线性无关的向量组作为基时，表示矩阵的秩等于向量组的秩。

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