kaoyan3basic 线性代数 第393题
📝 题目
### 第393题 $393 a=1$ 是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1, a, 1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(a, 1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(-2,-2, a+ 6)^{\mathrm{T}}$ 的秩为 2 的 （A）充分必要条件． （B）充分而非必要条件． （C）必要而非充分条件． （D）既非充分又非必要条件．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：当$a=1$时，$\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,1)^\mathrm{T},\boldsymbol{\alpha}_2=(1,1,1)^\mathrm{T},\boldsymbol{\alpha}_3=(1,1,1)^\mathrm{T},\boldsymbol{\alpha}_4=(-2,-2,7)^\mathrm{T}$，秩为2，充分性成立。 步骤2：若秩为2，可解得$a=1$或$a=-2$，故$a=1$不是必要条件。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：判断充分性：当a=1时，向量组的秩是否为2
将a=1代入各向量：α1=(1,1,1)^T, α2=(1,1,1)^T, α3=(1,1,1)^T, α4=(-2,-2,7)^T。由于α1,α2,α3线性相关（相等），且α4与α1线性无关（因为α4不是α1的倍数），所以向量组的秩为2。充分性成立。
提示：注意三个相同向量只贡献一个维度，加上一个线性无关的向量，秩为2。
步骤 2/2
目标：判断必要性：若向量组的秩为2，是否必须a=1
考虑向量组构成的矩阵A=[α1,α2,α3,α4]，其秩为2。通过计算行列式或线性相关性，可解得a=1或a=-2。例如，当a=-2时，α1=(1,1,-2)^T, α2=(1,-2,1)^T, α3=(-2,1,1)^T, α4=(-2,-2,4)^T，此时秩也为2。因此a=1不是必要条件。
提示：可以通过计算由α1,α2,α3构成的矩阵的行列式为零得到a=1或a=-2，再验证秩为2。
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