kaoyan3basic 线性代数 第391题
📝 题目
### 第391题 391 如果向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}$ ，的秩为 $r$ ，则下列命题中正确的是 （A）向量组中任意 $r-1$ 个向量都线性无关． （B）向量组中任意 $r$ 个向量都线性无关． （C）向量组中任意 $r-1$ 个向量都线性相关． （D）向量组中任意 $r+1$ 个向量都线性相关．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：向量组秩为$r$，则任意$r+1$个向量必线性相关（由秩的定义）。 步骤2：选项A、B、C均不一定成立，反例可构造。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：理解向量组秩的定义
向量组的秩为r，意味着该向量组中最多有r个线性无关的向量，且存在r个线性无关的向量。因此，任意r+1个向量必然线性相关。
提示：秩的定义是最大线性无关组中向量的个数。
步骤 2/2
目标：分析各选项
选项A：任意r-1个向量不一定线性无关，例如秩为2的向量组中可能有线性相关的两个向量。选项B：任意r个向量不一定线性无关，例如秩为2的向量组中可能存在两个线性相关的向量。选项C：任意r-1个向量不一定线性相关，例如秩为2的向量组中可能存在一个向量线性无关。选项D：由秩的定义，任意r+1个向量必线性相关，正确。
提示：注意反例构造：如向量组(1,0), (2,0), (0,1)的秩为2，但前两个向量线性相关。
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