kaoyan3basic 线性代数 第390题
📝 题目
### 第390题 390 （2021，数农）若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 可由向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}$ 线性表出，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots$ ， $\boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关是 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}$ 线性无关的 （A）充分必要条件． （B）充分不必要条件． （C）必要不充分条件． （D）既不充分也不必要条件．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：若$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$线性无关，且可由$\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_s$线性表出，则$r(\boldsymbol{\beta}_1,\cdots,\boldsymbol{\beta}_s) \ge s$，故$\boldsymbol{\beta}_1,\cdots,\boldsymbol{\beta}_s$线性无关，充分性成立。 步骤2：反之，若$\boldsymbol{\beta}_1,\cdots,\boldsymbol{\beta}_s$线性无关，$\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$不一定线性无关（例如$\boldsymbol{\alpha}_i$全为零向量），必要性不成立。 **难度**：★★☆☆☆