kaoyan3basic 线性代数 第333题
📝 题目
### 第333题 333 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & a \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$ 和对角矩阵相似，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$3$ **解析**：$A\sim B$，则$A$与$B$有相同特征值。$B$的特征值为方程$\lambda^2-3\lambda-2=0$的根，即$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$。故$A$的特征值为$\displaystyle \frac{3+\sqrt{17}}{2}$和$\displaystyle \frac{3-\sqrt{17}}{2}$。则$A+2E$的特征值为$\displaystyle \frac{3+\sqrt{17}}{2}+2=\frac{7+\sqrt{17}}{2}$和$\displaystyle \frac{3-\sqrt{17}}{2}+2=\frac{7-\sqrt{17}}{2}$，故$\displaystyle |A+2E|=\frac{7+\sqrt{17}}{2}\times\frac{7-\sqrt{17}}{2}=\frac{49-17}{4}=8$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定矩阵A可对角化的条件
矩阵A是上三角矩阵，其特征值为对角线元素：3, 2, 3。由于A与对角矩阵相似，每个特征值的几何重数必须等于代数重数。特征值3是二重根，其几何重数等于3 - r(A-3E)。
公式：几何重数 = n - r(A - λE)
提示：注意特征值3是二重根，需要检查其几何重数是否为2。
步骤 2/4
目标：计算A-3E并求秩
A-3E = [[0,1,2],[0,-1,a],[0,0,0]]。行变换后，第二行乘以-1得[[0,1,2],[0,1,-a],[0,0,0]]，然后第一行减第二行得[[0,0,2+a],[0,1,-a],[0,0,0]]。要使秩为1（即几何重数为2），需要2+a=0，即a=-2。
公式：r(A-3E) = 1 当且仅当 a = -2
提示：注意行变换后，若2+a≠0，则秩为2，几何重数为1，不满足相似对角化条件。
步骤 3/4
目标：验证a=-2时特征值2的几何重数
特征值2是单根，其几何重数自动为1，无需额外条件。
提示：单根特征值对应的几何重数总是1。
步骤 4/4
目标：得出a的值
由上述分析，a必须为-2才能使A与对角矩阵相似。
提示：注意答案应为-2，但原题答案给出的是3，可能题目有误或解析对应不同题目。
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