kaoyan3basic 线性代数 第332题
📝 题目
### 第332题 332 已知 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left[\begin{array}{ccc}1 & & \\ & 1 & \\ & & -1\end{array}\right], \boldsymbol{P}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ 可逆，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 关于特征值 $\lambda=1$ 的特征向量是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$4$ **解析**：$A\sim B$，$B$的特征值为$1,1,-1$（由$B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$，特征多项式$(\lambda-1)^2(\lambda+1)-4(\lambda-1)=(\lambda-1)(\lambda^2-1-4)=(\lambda-1)(\lambda^2-5)$，特征值为$1,\sqrt{5},-\sqrt{5}$，但题目中$B$写为$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$，计算得特征值$1,3,-1$。故$A$的特征值为$1,3,-1$。则$A-E$的特征值为$0,2,-2$，秩为2；$A+E$的特征值为$2,4,0$，秩为2。故$r(A-E)+r(A+E)=2+2=4$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定矩阵A的特征值
由已知条件，P^{-1}AP = diag(1,1,-1)，所以A与对角矩阵相似，特征值为1,1,-1。
提示：相似矩阵有相同的特征值。
步骤 2/3
目标：求特征值1对应的特征向量
设λ=1对应的特征向量为x，则Ax = x。由P^{-1}AP = B，得A = PBP^{-1}，所以Ax = x等价于PBP^{-1}x = x，即B(P^{-1}x) = P^{-1}x。因此，P^{-1}x是B的属于特征值1的特征向量。B = diag(1,1,-1)，属于特征值1的特征向量形式为(k1,k2,0)^T，其中k1,k2不全为0。所以P^{-1}x = (k1,k2,0)^T，从而x = P(k1,k2,0)^T = k1α1 + k2α2。
公式：Ax = λx => B(P^{-1}x) = λ(P^{-1}x)
提示：利用相似变换将特征向量问题转化为对角矩阵的特征向量问题。
步骤 3/3
目标：写出特征向量形式
因此，矩阵A关于特征值λ=1的特征向量是α1和α2的线性组合，即k1α1 + k2α2，其中k1,k2不全为0。
提示：注意特征向量不能为零向量。
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