kaoyan3basic 线性代数 第334题
📝 题目
### 第334题 334 设 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是三维线性无关的列向量，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+ \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}$ ，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\alpha_1,\alpha_2$ **解析**：由$P^{-1}AP=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$，知$A$的特征值为$1$（二重）和$-1$。特征值$1$对应的特征向量为$P$的前两列，即$\alpha_1,\alpha_2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将已知条件转化为矩阵形式
由题设，Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2。令矩阵P=(α1,α2,α3)，则AP = (Aα1, Aα2, Aα3) = (α2+α3, α1+α3, α1+α2) = P * B，其中B = [[0,1,1],[1,0,1],[1,1,0]]。因此有AP = PB，即P^{-1}AP = B。
公式：AP = PB, P^{-1}AP = B
提示：注意将向量组写成矩阵，利用矩阵乘法表示线性变换。
步骤 2/3
目标：求矩阵B的特征值
矩阵B = [[0,1,1],[1,0,1],[1,1,0]]。特征多项式为|λE-B| = det([[λ,-1,-1],[-1,λ,-1],[-1,-1,λ]]) = (λ-2)(λ+1)^2，解得特征值为λ1=2（单根），λ2=λ3=-1（二重根）。
公式：|λE-B| = (λ-2)(λ+1)^2
提示：计算三阶行列式时，可先进行行变换或利用特征多项式公式。
步骤 3/3
目标：确定A的特征值
由于A与B相似（P^{-1}AP = B），相似矩阵有相同的特征值，因此A的特征值也是2和-1（二重）。
公式：相似矩阵特征值相同
提示：注意特征值的重数也相同。
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