kaoyan3basic 线性代数 第335题
📝 题目
### 第335题 335 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵，若正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 使得 $\boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right]$ ，如果 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1$ ， $0,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,1)^{\mathrm{T}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 $\lambda=3$ 的特征向量，则 $\boldsymbol{Q}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a=0$ **解析**：$A$与对角矩阵相似，则每个特征值的代数重数等于几何重数。$A$的特征值为$3$（二重）和$2$（单根）。对于特征值$3$，需$r(3E-A)=1$。$3E-A=\begin{bmatrix} 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & -a \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$，秩为1时，需第二行与第一行成比例，即$\displaystyle \frac{-1}{1}=\frac{-2}{-a}$，得$a=2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
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