kaoyan3basic 线性代数 第338题
📝 题目
### 第338题 338 若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+6 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}$ 是正定的，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$2,-1,-1$ **解析**：由$A\alpha_1=\alpha_2+\alpha_3$，$A\alpha_2=\alpha_1+\alpha_3$，$A\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2$，得$A(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)=2(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)$，$A(\alpha_1-\alpha_2)= -(\alpha_1-\alpha_2)$，$A(\alpha_1-\alpha_3)= -(\alpha_1-\alpha_3)$，故特征值为$2,-1,-1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出二次型对应的矩阵
二次型 f 的矩阵 A 是对称矩阵，其中 x_i^2 的系数为对角元，x_i x_j 的系数一半为 (i,j) 和 (j,i) 元。由 f = a x1^2 + 4 x2^2 + a x3^2 + 6 x1 x2 + 2 x2 x3，得 A = [[a, 3, 0], [3, 4, 1], [0, 1, a]]。
公式：f(x) = x^T A x
提示：注意交叉项系数要除以2
步骤 2/4
目标：写出正定二次型的判别条件
实对称矩阵正定的充要条件是各阶顺序主子式大于0。一阶顺序主子式 Δ1 = a > 0；二阶顺序主子式 Δ2 = det([[a,3],[3,4]]) = 4a - 9 > 0；三阶顺序主子式 Δ3 = det(A) > 0。
公式：Δ1 > 0, Δ2 > 0, Δ3 > 0
提示：顺序主子式是从左上角开始依次取1,2,...,n行和列的子式
步骤 3/4
目标：计算各阶顺序主子式并求解不等式
由 Δ1 = a > 0 得 a > 0。由 Δ2 = 4a - 9 > 0 得 a > 9/4。计算 Δ3 = det(A) = a*(4a-1) - 3*(3a-0) + 0 = 4a^2 - a - 9a = 4a^2 - 10a = 2a(2a-5) > 0。结合 a > 0，得 a > 5/2。取交集得 a > 5/2。
公式：det(A) = 4a^2 - 10a = 2a(2a-5)
提示：计算三阶行列式时可用展开定理或沙路法
步骤 4/4
目标：得出最终取值范围
综合 a > 0, a > 9/4, a > 5/2，取交集得 a > 5/2。
提示：注意三个条件需同时满足
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