kaoyan3basic 线性代数 第339题
📝 题目
### 第339题 339 二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ 在正交变换下的标准形为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{bmatrix}$ **解析**：特征值$3$对应的特征向量$\alpha_1,\alpha_2$需正交化，再单位化。取$\beta_1=\alpha_1=(1,0,-1)^T$，单位化得$\displaystyle p_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)^T$。$\displaystyle \beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1=(0,1,1)^T-\frac{-1}{2}(1,0,-1)^T=(\frac{1}{2},1,\frac{1}{2})^T$，单位化得$\displaystyle p_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1)^T$。特征值$6$对应的特征向量与$\alpha_1,\alpha_2$正交，设为$(x_1,x_2,x_3)^T$，满足$x_1-x_3=0$，$x_2+x_3=0$，取$x_3=1$，得$(1,-1,1)^T$，单位化得$\displaystyle p_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1)^T$。故$\displaystyle Q=[p_1,p_2,p_3]=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix}$。 **难度**：★★★☆☆