kaoyan3basic 线性代数 第340题

教材习题

📝 题目

### 第340题 340 已知 $\boldsymbol{\alpha}=(1,-1,0)^{\mathrm{T}}$ 是二次型 $$ $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=a x_{1}^{2}-2 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 b x_{2} x_{3}$ $$ 的特征向量，则此二次型经正交变换所得标准形是 $\_\_\_\_$。

💡 答案解析

**答案**：$2y_1^2 + 2y_2^2 - 4y_3^2$ **解析**：步骤1：由二次型写出矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix} a & -1 & 1 \\ -1 & 0 & b \\ 1 & b & -2 \end{pmatrix}$。步骤2：由特征向量条件$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=\lambda\boldsymbol{\alpha}$，得$\begin{cases} a+1 = \lambda \\ -1 = -\lambda \\ 1-b = 0 \end{cases}$，解得$\lambda=1, a=0, b=1$。步骤3：矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$，特征多项式$|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=(\lambda-2)^2(\lambda+4)$，特征值为$2,2,-4$。步骤4：正交变换下标准形为$2y_1^2+2y_2^2-4y_3^2$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：由二次型写出矩阵A
二次型为 $a x_1^2 - 2 x_3^2 - 2 x_1 x_2 + 2 x_1 x_3 + 2 b x_2 x_3$，根据二次型矩阵的对称性，$x_i x_j$ 项的系数一半放在对应位置，得到矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a & -1 & 1 \\ -1 & 0 & b \\ 1 & b & -2 \end{pmatrix}$。
公式：$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a & -1 & 1 \\ -1 & 0 & b \\ 1 & b & -2 \end{pmatrix}$
提示：注意二次型中交叉项系数要平分到矩阵的两个对称位置。
步骤 2/4
目标：利用特征向量条件求参数
已知 $\boldsymbol{\alpha}=(1,-1,0)^\mathrm{T}$ 是特征向量，设对应特征值为 $\lambda$，则 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=\lambda\boldsymbol{\alpha}$。计算 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha} = \begin{pmatrix} a+1 \\ -1 \\ 1-b \end{pmatrix}$，$\lambda\boldsymbol{\alpha} = \begin{pmatrix} \lambda \\ -\lambda \\ 0 \end{pmatrix}$。比较得方程组：$a+1=\lambda$，$-1=-\lambda$，$1-b=0$。解得 $\lambda=1$，$a=0$，$b=1$。
公式：$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=\lambda\boldsymbol{\alpha}$
提示：注意向量相等是对应分量相等，由此列出方程。
步骤 3/4
目标：求矩阵A的特征值
将 $a=0,b=1$ 代入得 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$。计算特征多项式 $|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} \lambda & 1 & -1 \\ 1 & \lambda & -1 \\ -1 & -1 & \lambda+2 \end{vmatrix}$。化简得 $(\lambda-2)^2(\lambda+4)=0$，特征值为 $\lambda_1=\lambda_2=2$，$\lambda_3=-4$。
公式：$|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=(\lambda-2)^2(\lambda+4)$
提示：计算行列式时注意技巧，如行变换或展开。
步骤 4/4
目标：写出正交变换下的标准形
由于是正交变换，标准形的系数即为特征值。因此标准形为 $2y_1^2+2y_2^2-4y_3^2$。
公式：标准形：$2y_1^2+2y_2^2-4y_3^2$
提示：正交变换下标准形系数就是特征值。

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