kaoyan3basic 线性代数 第2题
📝 题目
### 第2题 2．设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 中 （A）所有 $r-1$ 阶子式都不为 0 。 （B）所有 $r-1$ 阶子式全为 0 ． （C）至少有一个 $r$ 阶子式不等于 0 ． （D）所有 $r$ 阶子式都不为 0 。
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：矩阵秩为$r$的定义是存在$r$阶子式不为0，且所有$r+1$阶子式为0。步骤2：因此至少有一个$r$阶子式不等于0。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：理解矩阵秩的定义
矩阵A的秩为r，根据定义，存在一个r阶子式不为0，且所有r+1阶子式均为0。
公式：秩的定义
提示：秩是矩阵中最高阶非零子式的阶数。
步骤 2/2
目标：分析选项
选项A和B涉及r-1阶子式，但秩的定义只保证存在r阶非零子式，对r-1阶子式没有必然要求，因此A和B错误。选项D说所有r阶子式都不为0，但定义只要求至少有一个非零，因此D错误。选项C说至少有一个r阶子式不等于0，符合定义。
提示：注意区分“所有”和“存在”。
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