kaoyan3basic 线性代数 第3题
📝 题目
### 第3题 3．设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(1,0,0, \lambda_{1}\right)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(1,2,0, \lambda_{2}\right)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(-1,2,3, \lambda_{3}\right)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=\left(-2,1,5, \lambda_{4}\right)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\lambda_{1}$ ， $\lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ 是任意实数，则有 （A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 总线性相关． （B） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 总线性相关． （C） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 总线性无关． （D） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 总线性无关．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：取前三个向量的前三个分量构成矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$，行列式$1\times2\times3=6\neq0$。步骤2：前三个分量线性无关，故$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$总线性无关。 **难度**：★★☆☆☆