kaoyan3basic 线性代数 第3题
📝 题目
### 第3题 3．设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关，则有 （A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表出． （B） $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表出． （C） $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表出． （D） $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表出．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：由$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性相关，存在不全为零的数$k_1, k_2, k_3$使$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0$。 步骤2：由$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$线性无关，知$\alpha_1, \alpha_2$线性无关，且$\alpha_4$不能由$\alpha_1, \alpha_2$线性表出。 步骤3：若$k_3=0$，则$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=0$，由$\alpha_1, \alpha_2$线性无关得$k_1=k_2=0$，与不全为零矛盾，故$k_3\neq0$。 步骤4：因此$\displaystyle \alpha_3=-\frac{k_1}{k_3}\alpha_1-\frac{k_2}{k_3}\alpha_2$，即$\alpha_3$可由$\alpha_1, \alpha_2$线性表出，从而可由$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$线性表出。 **难度**：★★☆☆☆