kaoyan3basic 线性代数 第4题
📝 题目
### 第4题 4．已知齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解，且 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & a & 1\end{array}\right]$ ，则 $a=$ （A） 2 ． （B） 1 ． （C） 0 ． （D）-1 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：齐次方程组$Ax=0$有非零解，则$|A|=0$。 步骤2：计算$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & a & 1\end{array}\right|$，按第一行展开：$1\times(3\times1-1\times a)-1\times(2\times1-1\times1)+0=1\times(3-a)-1\times(2-1)=3-a-1=2-a$。 步骤3：令$2-a=0$，得$a=2$。但选项有2，检查：计算无误，但需验证：$a=2$时，矩阵秩为2，有非零解。故答案为A。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定齐次方程组有非零解的条件
齐次方程组 $Ax=0$ 有非零解当且仅当系数矩阵 $A$ 的行列式 $|A|=0$。
公式：|A|=0
提示：齐次方程组有非零解等价于系数矩阵不满秩。
步骤 2/3
目标：计算矩阵 $A$ 的行列式
计算 $|A| = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & a & 1\end{array}\right|$，按第一行展开：$1 \times (3 \times 1 - 1 \times a) - 1 \times (2 \times 1 - 1 \times 1) + 0 = 1 \times (3 - a) - 1 \times (2 - 1) = 3 - a - 1 = 2 - a$。
公式：行列式展开公式
提示：注意符号：展开时正负号交替。
步骤 3/3
目标：解方程求 $a$
令 $2 - a = 0$，解得 $a = 2$。
提示：验证 $a=2$ 时矩阵秩为2，确实有非零解。
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