kaoyan3basic 线性代数 第5题
📝 题目
### 第5题 5．下列矩阵中不能相似于对角矩阵的为 （A）$\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 1 & 2\end{array}\right]$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：矩阵相似于对角矩阵的充要条件是有n个线性无关的特征向量。 步骤2：选项A：$\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$的特征值为1（二重），但特征向量空间维数为1，不能对角化。 步骤3：选项B：特征值1和2，不同特征值，可对角化。 步骤4：选项C：实对称矩阵，可对角化。 步骤5：选项D：特征值0和3，不同特征值，可对角化。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断矩阵能否相似于对角矩阵的充要条件
矩阵可对角化的充要条件是它有n个线性无关的特征向量，即每个特征值的几何重数等于代数重数。
提示：对于每个特征值，计算其几何重数（即特征空间的维数），若所有特征值的几何重数等于代数重数，则可对角化。
步骤 2/5
目标：分析选项A
矩阵A = [[1,1],[0,1]]，特征值为1（二重）。解特征方程(A-I)x=0，得特征向量空间维数为1，几何重数=1 < 代数重数=2，故不能对角化。
公式：(A-λI)x=0
提示：注意二重特征值可能只有一个线性无关的特征向量。
步骤 3/5
目标：分析选项B
矩阵B = [[1,1],[0,2]]，特征值为1和2，互异。不同特征值对应的特征向量线性无关，故有2个线性无关的特征向量，可对角化。
提示：不同特征值对应的特征向量一定线性无关。
步骤 4/5
目标：分析选项C
矩阵C = [[1,1],[1,2]]，是实对称矩阵。实对称矩阵必可对角化（且可用正交变换）。
提示：实对称矩阵一定可对角化。
步骤 5/5
目标：分析选项D
矩阵D = [[1,2],[1,2]]，特征值为0和3，互异。不同特征值对应的特征向量线性无关，故可对角化。
提示：计算特征值：det(D-λI)=λ(λ-3)=0。
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