kaoyan3basic 线性代数 第6题
📝 题目
### 第6题 6．将 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 行加到第 2 行得矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，再将 $\boldsymbol{B}$ 的第 1 列加到第 2 列得矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，令 $\boldsymbol{P}= \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则 （A） $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P A P}$ ． （B） $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}$ ． （C） $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ ． （D） $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：将A的第1行加到第2行得B，相当于左乘初等矩阵$P$，即$B=PA$，其中$P=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$。 步骤2：再将B的第1列加到第2列得C，相当于右乘$P^T$，即$C=BP^T$。 步骤3：故$C=PAP^T$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将A的第1行加到第2行得B
左乘初等矩阵P，其中P是将单位矩阵的第1行加到第2行得到的，即P = [[1,0,0],[1,1,0],[0,0,1]]，因此B = PA。
公式：B = PA
提示：行变换左乘初等矩阵，列变换右乘初等矩阵。
步骤 2/3
目标：将B的第1列加到第2列得C
右乘初等矩阵P^T，因为列变换对应右乘转置，P^T = [[1,1,0],[0,1,0],[0,0,1]]，因此C = B P^T。
公式：C = B P^T
提示：注意列变换对应的初等矩阵是行变换矩阵的转置。
步骤 3/3
目标：代入B得C的表达式
将B = PA代入C = B P^T，得到C = P A P^T。
公式：C = P A P^T
提示：矩阵乘法满足结合律。
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