kaoyan3basic 线性代数 第5题
📝 题目
### 第5题 5．已知二阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征向量为 $\binom{-3}{1}$ ，且 $|\boldsymbol{A}|<0$ ，则下面必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量的是 （A）$k\binom{-3}{1}$ ． （B）$\binom{1}{3}$ ． （C）$k_{1}\binom{-3}{1}+k_{2}\binom{1}{3}, k_{1} \neq 0$ 且 $k_{2} \neq 0$ 。 （D）$k_{1}\binom{-3}{1}+k_{2}\binom{1}{3}, k_{1}, k_{2}$ 不同时为零。
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：二阶实对称矩阵$\boldsymbol{A}$有2个线性无关的特征向量。步骤2：$|\boldsymbol{A}|<0$，特征值一正一负，与$\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$正交的特征向量为$\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$，必为另一特征向量。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定矩阵A的特征值符号
由于A是二阶实对称矩阵且|A|<0，所以特征值一正一负。
公式：|A| = λ1 * λ2 < 0
提示：实对称矩阵的特征值均为实数，且行列式等于特征值之积。
步骤 2/3
目标：利用特征向量正交性
实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交。已知一个特征向量为(-3,1)^T，则与其正交的向量必为另一特征向量。计算与(-3,1)^T正交的向量：设(x,y)^T满足-3x+y=0，即y=3x，取x=1得(1,3)^T。
公式：(-3,1)·(x,y) = -3x + y = 0
提示：正交条件：内积为0。
步骤 3/3
目标：判断选项
选项A是已知特征向量本身，但题目问“必为A的特征向量”，已知特征向量乘以非零常数仍是特征向量，但选项A中k任意，当k=0时不是特征向量，故A不一定。选项B是(1,3)^T，由正交性知它必为另一特征向量。选项C和D是线性组合，但只有当组合系数满足一定条件时才是特征向量，不一定总是，故B正确。
提示：注意特征向量不能为零向量。
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