kaoyan3basic 线性代数 第6题
📝 题目
### 第6题 6．必合同于单位矩阵的矩阵为 （A）对角矩阵． （B）对称矩阵． （C）正定矩阵． （D）正交矩阵．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：正定矩阵合同于单位矩阵。步骤2：对角矩阵、对称矩阵、正交矩阵不一定正定。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：理解合同于单位矩阵的条件
矩阵A合同于单位矩阵当且仅当A是正定矩阵。因为正定矩阵的规范形是单位矩阵，即存在可逆矩阵C使得C^T A C = I。
公式：A正定 ⇔ 存在可逆C使C^T A C = I
提示：正定矩阵是实对称矩阵且所有特征值大于0。
步骤 2/3
目标：分析各选项是否正定
（A）对角矩阵不一定正定，例如对角元有0或负数时不是正定。（B）对称矩阵不一定正定，例如负定矩阵或半正定矩阵。（C）正定矩阵由定义直接满足条件。（D）正交矩阵的特征值模为1，不一定正定，例如特征值为-1时不是正定。
提示：注意正定矩阵必须是对称的且特征值全正。
步骤 3/3
目标：得出结论
只有正定矩阵必合同于单位矩阵，故选C。
提示：合同关系下，正定性保持不变。
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