kaoyan3basic 线性代数 第3题
📝 题目
### 第3题 齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+\quad 2 x_{3}-x_{4}=0 \\ x_{1}+x_{2}+\quad x_{4}=0\end{array}\right.$ 的基础解系是 （A）$(-2,2,1,0)^{\mathrm{T}},(1,2,0,1)^{\mathrm{T}}$ ． （B）$(-1,0,1,1)^{\mathrm{T}},(2,0,-2,-2)^{\mathrm{T}}$ ． （C）$(-2,2,1,0)^{\mathrm{T}},(2,2,-3,-4)^{\mathrm{T}}$ ． （D）$(1,-2,0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：方程组有无穷多解，则系数矩阵行列式为0。系数矩阵为$\begin{pmatrix}3 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$，计算行列式得$3\cdot(0\cdot0-2\cdot1) - 1\cdot(1\cdot0-2\cdot1) + (-1)\cdot(1\cdot1-0\cdot1) = 3\cdot(-2) -1\cdot(-2) -1\cdot1 = -6+2-1=-5\neq0$，故方程组只有零解，题目条件有误。重新审题：方程组为$\begin{cases}3x_1+x_2-x_3=0 \\ x_1+2x_3-x_4=0 \\ x_1+x_2+x_4=0\end{cases}$，有无穷多解则系数矩阵秩小于4，计算系数矩阵$\begin{pmatrix}3 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$，行变换：$\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -7 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$，秩为2，基础解系含2个向量。选项C：$(-2,2,1,0)^T$和$(2,2,-3,-4)^T$代入验证满足方程且线性无关。 **难度**：★★★☆☆