kaoyan3basic 线性代数 第3题
📝 题目
齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l} 3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}-4 x_{4}=0 \end{array}\right.$ $$ 的基础解系是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$(1,3,0,0)^T, (0,2,1,0)^T, (0,4,0,1)^T$（或其他等价形式） **解析**： 步骤1：方程$3x_1-x_2+2x_3-4x_4=0$，系数矩阵$(3,-1,2,-4)$。 步骤2：自由变量为$x_2,x_3,x_4$，得$\displaystyle x_1=\frac{1}{3}x_2-\frac{2}{3}x_3+\frac{4}{3}x_4$。 步骤3：分别取$(x_2,x_3,x_4)=(3,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$得基础解系$(1,3,0,0)^T,(-2,0,1,0)^T,(4,0,0,1)^T$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出系数矩阵
方程 $3x_1 - x_2 + 2x_3 - 4x_4 = 0$ 的系数矩阵为 $(3, -1, 2, -4)$。
提示：注意系数矩阵只有一行。
步骤 2/4
目标：确定自由变量
由于只有一个方程，秩为1，自由变量个数为4-1=3。取 $x_2, x_3, x_4$ 为自由变量。
提示：自由变量可以任意选取，但通常选择非主元变量。
步骤 3/4
目标：用自由变量表示 $x_1$
由方程得 $x_1 = \frac{1}{3}x_2 - \frac{2}{3}x_3 + \frac{4}{3}x_4$。
公式：$x_1 = \frac{1}{3}x_2 - \frac{2}{3}x_3 + \frac{4}{3}x_4$
提示：注意系数符号。
步骤 4/4
目标：赋值求基础解系
分别令 $(x_2, x_3, x_4) = (3,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$，得到解向量：$(1,3,0,0)^T, (-2,0,1,0)^T, (4,0,0,1)^T$。
提示：赋值时避免分数，通常取整数。
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