kaoyan3basic 线性代数 第2题
📝 题目
齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}-x_{2}+x_{3}-3 x_{4}=0 \\\\ x_{1}+x_{3}-x_{4}=0 \end{array}\right.$ $$ 的基础解系是 $\_\_\_\_$ ．
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2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3} $$ 的正惯性指数 $p=$ $\_\_\_\_$ ． □
💡 答案解析
**答案**：$(1,1,0,1)^T, (0,1,1,1)^T$（或其他等价形式） **解析**： 步骤1：方程组$\begin{cases}2x_1-x_2+x_3-3x_4=0\\ x_1+x_3-x_4=0\end{cases}$，系数矩阵$\begin{pmatrix}2&-1&1&-3\\1&0&1&-1\end{pmatrix}$。 步骤2：化为行最简形$\begin{pmatrix}1&0&1&-1\\0&1&1&1\end{pmatrix}$，得$x_1=-x_3+x_4$，$x_2=-x_3-x_4$。 步骤3：取$(x_3,x_4)=(1,0)$得$( -1,-1,1,0)^T$；取$(0,1)$得$(1,-1,0,1)^T$，基础解系为$(-1,-1,1,0)^T,(1,-1,0,1)^T$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出系数矩阵并化为行最简形
方程组系数矩阵为 [[2, -1, 1, -3], [1, 0, 1, -1]]，通过初等行变换化为行最简形：第一行减去第二行的2倍得 [[0, -1, -1, -1], [1, 0, 1, -1]]，再交换行得 [[1, 0, 1, -1], [0, 1, 1, 1]]。
公式：行最简形：[[1,0,1,-1],[0,1,1,1]]
提示：注意行变换的顺序，避免计算错误。
步骤 2/3
目标：确定自由变量并写出通解
行最简形对应方程组：x1 + x3 - x4 = 0，x2 + x3 + x4 = 0。取 x3, x4 为自由变量，得 x1 = -x3 + x4，x2 = -x3 - x4。通解为 (x1, x2, x3, x4)^T = x3(-1, -1, 1, 0)^T + x4(1, -1, 0, 1)^T。
公式：通解形式：x = c1 * (-1,-1,1,0)^T + c2 * (1,-1,0,1)^T
提示：自由变量通常取为不在主元列对应的变量。
步骤 3/3
目标：写出基础解系
令 (x3, x4) 分别取 (1,0) 和 (0,1)，得到两个线性无关的解向量：(-1, -1, 1, 0)^T 和 (1, -1, 0, 1)^T，即为方程组的基础解系。
公式：基础解系：ξ1 = (-1,-1,1,0)^T，ξ2 = (1,-1,0,1)^T
提示：基础解系不唯一，但向量个数等于自由变量个数。
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